Il corso intende discutere aspetti storici, psicologici, logici e filosofici delle diverse specie di numeri inventate nella storia della matematica. L'idea conduttrice è che i numeri abbiano una consistenza culturale più che ontologica.
Indice:
numeri naturali e frazioni
negativi, irrazionali, immaginari
la foresta dei numeri
dai numeri alle strutture.
La prima parte tratterà dei numeri naturali e delle frazioni nella loro origine storica, con qualche accenno anche alle civiltà preistoriche e non europee. Sarà dato spazio alla dimenticata teoria delle proporzioni dei greci.
Quindi saranno considerati i numeri negativi, gli irrazionali e i complessi, discutendo le resistenze e le difficoltà che si sono incontrate a considerarli numeri, e la storia di alcuni numeri notevoli, come
e e
i , e delle loro rappresentazioni.
Seguirà un panorama di altre specie di numeri che sono stati introdotti soprattutto dall'Ottocento in avanti: numeri modulari, campi finiti, matrici, quaternioni, ottonioni, p-adici, infiniti, fino ai surreali.
Nel secondo modulo si vedrà come si è cercato di mettere ordine nella proliferazione dei numeri secondo due direttive: il metodo genetico di costruzione insiemistica, e il metodo strutturale nell'algebra moderna. Questa parte si configura anche come introduzione sia al riduttivismo insiemistico sia al metodo assiomatico.
Periodo di svolgimento del corso: febbraio 2015 -giugno 2015
Numero di ore del docente: 60
Modalità di esame: relazione di seminario
Prerequisiti e anni di corso per cui è consigliato
Il corso sarà diviso in due moduli di 40 ore ciascuno: il primo dedicato agli anni dell'orientamento, che serve anche come introduzione al modulo dedicato ad argomenti più avanzati per gli studenti del perfezionamento, strutturalismo e metodo assiomatico.
Riferimenti bibliografici
Saranno segnalati nel corso delle lezioni, ed eventualmente
Dispense del docente
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The lectures will be devoted to discuss historical, psychological and logical aspects of numbers, the leading idea being that numbers have a cultural rather than ontological consistency.
Content:
natural numbers and fractions (the broken numbers)
negative integers, irrational numbers, imaginary numbers
numbers galore
from numbers to structures.
First we will discuss the natural numbers and the fractions in their origin, also in pre-historic and extra-european cultures. In particular we will dwell on the Greek's theory of proportions as a substitute for fractions.
Then we will treat negative, irrational and complex numbers, discussing the oppositions and the uneasiness to accept them as numbers, with the history of some notable numbers such as
e e
i , and their representations.
We'll see the pletora of numbers invented from the nineteenth century onward: mudular numbers, finite fields, matrices, quaternions, ottonians, p-adic numbers, infinite numbers, surreal numbers ... .
In the second part we will see how order has been introduced in the chaos along two strategic lines: the genetic method, and the structuralism of modern algebra. This part can be seen as an introduction both to set-theoretic reductionism and to the axiomatic method.
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Per una fruizione proficua del corso possono essere utili conoscenze di elementi di logica, per l'ultima parte, ma nessun prerequisito specifico.
