Filosofia della matematica

La nascita di una idea matematica. La teoria degli insiemi
The emergence of a mathematical concept: set theory

Orario:
martedì e giovedì dalle 9 alle 11
Aula Contini

(mercoledì dalle 11 alle 13
Aula Russo)

Inizio del corso:
Riunione preliminare: martedì 25 ottobre, ore 9, Aula Contini
Prima lezione: giovedì 3 novembre, ore 9, Aula Contini

La teoria degli insiemi ha un triplice statuto. Nasce come disciplina matematica soprattutto con i contributi di Georg Cantor che, a partire dal 1872, introducono nuovi oggetti matematici, i numeri infiniti. Si manifestano presto prospettive fondazionali riduzioniste, soprattutto per l'influenza di Richard Dedekind; dopo un tumultuoso periodo di discussioni nei primi dieci anni del Novecento, la teoria si stabilizza con l'assiomatizzazione di Ernst Zermelo (1908); con la successiva evoluzione nel bourbakismo, tende a diventare un linguaggio unitario per la matematica.
Nei primi dieci anni del Novecento la teoria si confronta, dal punto di vista fondazionale, con la proposta logicista di Bertrand Russell, che si realizza nella teoria dei tipi (1908) e nei Principia mathematica (1910).
Negli anni Venti iniziano le indagini metamatematiche che porteranno a dimostrare le limitazioni della teoria, sia rispetto alle ambizioni fondazionali, sia rispetto al contenuto matematico; questi sviluppi saranno solo accennati, essendo fuori dall'orizzonte temporale considerato.

Il corso si propone di analizzare i movimenti che portano alla nascita e al consolidamento della teoria. I temi principali saranno: le esigenze matematiche che ne favoriscono la crescita; la funzione e il significato dell'assiomatizzazione, nel quadro più generale dello sviluppo della matematica; il rapporto dell'assiomatizzazione con la teoria informale; l'accoglienza o il rifiuto di nuovi principi di ragionamento (assioma di scelta, paradossi); il programma fondazionale logicista di Dedekind e sua relazione con quello di Russell.

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Set theory has a threefold status; as a mathematical theory, it grew mainly around the contributions of Georg Cantor, who introduced new mathematical objects, the infinite numbers; soon it came to be considered a foundational reductionistic theory, in particular under the influence of Richard Dedekind; after a turbulent period of discussions, in the first ten years of the nineteenth century, the theory consolidated with Ernst Zermelo's axiomatisation (1908); meanwhile the language of set theory became gradually and steadily a unifying language for the whole of mathematics, culminating in the Bourbaki's synthesis.
From the foundational point of view the rival of set theory was the logical system created by Bertrand Russell with type theory.
In the twenties there began the metamathematical investigations which will show the limitations of the theory, both as a foundational proposal and in its mathematical content (these developments are outside our temporal horizon).

We will analyse the factors that favoured the emergence and the consolidation of the theory. The principal themes will be: the mathematical needs that helped its acceptance; the meaning and function of axiomatisation, in the general context of the growth of modern mathematics; the relationship between the axiomatised and the informal theory; the acceptance and refusal of new reasoning principles (axiom of choice, paradoxes); the comparison with Russell's system.

Per una fruizione proficua del corso sono raccomandabili conoscenze di elementi di teoria degli insiemi e di logica; il corso è pensato come un'occasione di approfondimento per gli studenti del perfezionamento. Gli studenti del corso ordinario possono tuttavia frequentarlo utilmente, come introduzione alla problematica dei fondamenti della matematica, e sono invitati a farlo, se interessati.

Avviso: Per colmare eventuali lacune, e fornire comunque una opportunità di accrescimento di conoscenze, sono previste lezioni supplementari (circa 30) per gli studenti del corso ordinario (su un testo istituzionale), che si svolgeranno il mercoledì, dalle 11 alle 13 in Aula Russo, o in altro orario da concordare con gli interessati e compatibilmente con la disponibilità di aule.
Le lezioni del corso principale si svolgeranno il martedì e giovedì.

Avviso: Gli studenti sceglieranno uno dei temi trattati da approfondire per la presentazione seminariale, che accompagnerà il colloquio finale.

Avviso: Oltre ai testi sotto indicati per consultazione, saranno prodotte dispense durante lo svolgimento del corso.

Dispense del docente
G. W. Dauben, Georg Cantor, Harvard Univ. Press
R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica, Bibliopolis
W. Ewald, From Kant to Hilbert, Oxford
J. Ferreirós, Labirinth of Thought, Birkhäuser
I. Grattan-Guiness, The Search for Mathematical Roots, Princeton
G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri

Ulteriori indicazioni bibliografiche su singoli autori o temi saranno date durante lo svolgimento del programma.